杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列

前10行：

第11 行：

1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1

第12 行：

1，11，55，165，330，462，462，330，165，55，11，1

第13行：

1，12，66，220，495，792，924，792，495，220，66，12，1

第14行：

1，13，78，286，715，1287，1716，1716，1287，715，286，78，13，1

前提：端点的数为1.

1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

3、第n行的数字有n项。

4、第n行数字和为

。

5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)（组合数性质

之一）

6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即

7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)（n-1下标，m-1上标），即为从n-1个不同

  杨辉三角的组合数表示

元素中取m-1个元素的组合数。（见右图）

组合数计算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]

8、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。^[1]

9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

10、将各行数字相排列，可得11的N-1次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……;

注：15101051≠11的5次方 ，应为：

性质6和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。

  杨辉三角的图算

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。

例如，在杨辉三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数，

即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2

第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数

即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

以此类推。

又因为性质6：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n

因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。

有规律，排列组合中的二项式定理


(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4


(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5


(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6

(a+b)^n=a^n+[nC(n-1)]a^(n-1)b+[nC(n-2)]a^(n-2)b^2+[nC(n-3)]a^(n-3)b^3+……+(nC2)a^2b^(n-2)+(nC1)ab^n

(n个(a+b)相乘，每乘一个（a+b）就是在括号里乘上一个字母，每一项前的系数就是在n个括号里挑选哪几个乘上a，其余乘上b，而且a与b上面的次幂加起来等于n）