杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列
前10行:
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10 |
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35 |
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7 |
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28 |
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56 |
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28 |
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8 |
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126 |
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126 |
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84 |
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36 |
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9 |
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第11 行:
1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1
第12 行:
1,11,55,165,330,462,462,330,165,55,11,1
第13行:
1,12,66,220,495,792,924,792,495,220,66,12,1
第14行:
1,13,78,286,715,1287,1716,1716,1287,715,286,78,13,1
前提:端点的数为1.
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称,由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n项。
4、第n行数字和为
。
5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等,即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)(组合数性质
之一)
6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和,这也是组合数的性质之一。即
7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)(n-1下标,m-1上标),即为从n-1个不同
元素中取m-1个元素的组合数。(见右图)
组合数计算方法:C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]
8、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。[1]
9、将第2n+1行第1个数,跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线,这些数的和是第4n+1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1),跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
10、将各行数字相排列,可得11的N-1次方:1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……;
注:15101051≠11的5次方 ,应为:
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性质6和性质7是杨辉三角的基本性质,是研究杨辉三角其他规律的基础。
与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即二项式定理。
例如,在杨辉三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数,
即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2
第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数
即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
以此类推。
又因为性质6:第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1),即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为:(a+b)^n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n
因此,二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算,称为“式算”;用杨辉三角形来计算,称作“图算”。
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