正弦定理

一、教学内容分析

本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。

二、学情分析

对普高高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。

三、设计思想：

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

四、教学目标：

1．让学生从已有的几何知识出发,引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。

2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解

决问题的能力。

五、教学重点与难点

教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。

教学难点：正弦定理的猜想提出过程。

教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。

六、教学过程：

（一）结合实例，激发动机

    师生活动：

    教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为 ，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？

学生：思考提出测量角A，C                                            

教师：若已知测得 ，              ，要计算A、B两地距离，你               （图1）

有办法解决吗？

    学生：思考交流，画一个三角形 ，使得 为6cm， ，

 ，量得 距离约为4.9cm，利用三角形相似性质可知AB约为

490m。

老师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？

    师生：共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。

。  教师：引导， 是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？

    学生：思考，交流，得出过 作 于 如图2，把 分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。

教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若 ， ，能否用 、 、 表示 呢？

教师：引导学生再观察刚才解题过程。

学生：发现 ，

       

       

教师：引导  ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？

学生：发现即然有 ，那么也有 ， 。

教师：引导  ， ， ，我们习惯写成对称形式 ， ， ，因此我们可以发现 ，是否任意三角形都有这种边角关系呢？

设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。

（二）数学实验，验证猜想

教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验 是否成立，举出特例。

 

                           （图2）

    教师：对于 呢？

B

a

A

C

c

b

(图3)

学生：思考交流得出，如图4，在Rt ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

则有 ， ，又 ,

则

从而在直角三角形ABC中，

 

    教师：那么任意三角形是否有 呢？学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。）

    学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较 、 、 的近似值。

    教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换， 、 、 值仍然保持相等。

    我们猜想： = =

设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。

（三）证明猜想，得出定理

师生活动：

教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明 呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）

    学生：思考得出

①在 中，成立，如前面检验。

②在锐角三角形中，如图5设 ， ，

③在钝角三角形中，如图6设 为钝角， ， ，

          

    教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

 

还有其它证明方法吗？

学生：思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出： ，

教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。

              

在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高 ，三角形的面积： ，能否得到新面积公式

学生：

得到三角形面积公式

    教师：大家还有其他的证明方法吗？比如： 、 、 都等于同一个比值 ，那么它们也相等，这个 到底有没有什么特殊几何意义呢？

（图5）

    学生：在前面的检验中， 中， ， 恰为外接接圆的直径，即 ，所以作 的外接圆 ， 为圆心，连接 并延长交圆 于 ，把一般三角形转化为直角三角形。

    教师：从刚才的证明过程中, ，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径 ，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过 ，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？

学生：思考（联系作高的思想）得出：

    在锐角三角形 中， ，作单位向量 垂直于 ，

（图6）

   

    即

   

   

    同理：

   

    对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。

    教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。

设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。

（四）利用定理，解决引例

师生活动：

教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。

学生：马上得出

    在 中，

   

（五）了解解三角形概念

设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性

教师：一般地，把三角形的三个角 、 、 和它们的对边 、 、 叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。

设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。

（六）运用定理，解决例题

师生活动：

教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。

    学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：

        ①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如 ；

 

        ②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如 。

 

师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。

    例1：在 中，已知 ， ， ，解三角形。

分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为 求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。

    例2：在 中，已知 ， ， ，解三角形。

例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流

    学生：反馈练习（教科书第5页的练习）

    用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。

设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。

（七）尝试小结：

教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。

学生：思考交流，归纳总结。

师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：

（1）正弦定理的内容（ ）及其证明思想方法。

（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。

（3）分类讨论的数学思想。

设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。

 

 

 

 

 

 

 

 

教学案例:

 

课堂巧引导

培养学生思维品质

 

 

 

 

 

 

 

 

要

 

虹

 

 

 

 

榆次区第三中学