科普中国——科学原理一点通

    1. 问题的提出：

    如图1，某旅行者在在如图所示的棋盘路网上从某地O向某地A，行走方向为向右或向上行走. 问，该旅行者的不同的行走路线有多少种？由O地到对角线BC上的路线数目有多少？

图1

    2. 问题的解决：

    问题1：该旅行者的不同的行走路线有多少种？

    如图2，由题意，每个路口标出的数字，是该旅行者从某地O走到该路口的路线数目.

图2

    能否直接计算出从某地O走到该路口的路线数目呢？

    不妨设表示走到第行，第j列交叉路口的路线数目，其中.

    具体地，表示走到第2行，第3列交叉路口的路线数目，也可以看作由2个“－”，3个“｜”所组成的排列数，即. 一般地，可得.

    问题2：如图3，由O地到对角线BC上的路线数目有多少？

图3

    由O地到对角线BC上的路线可以构成杨辉有向图，由计数原理中的乘法原理直接计算可知共有种. 当然也可以一一计算，可得…. 一般地，由O地出发，走到这条直线上的路线共有种.

    3. 如何理解这些数字呢？这个数表呢？

    ⑴ 杨辉三角

    可以看到图中的数字恰为杨辉三角，如图4. 早在1261年，杨辉就在《详解九章算法》一书中提出了二项式系数的三角形排法，即杨辉三角. 法国数学家帕斯卡在17世纪也建立了二项式系数的表示法.

图4

    ⑵ 折线距离

    行走方向为向右或向上行走，在网格路线中可以使行走距离最短，这个最短距离也称为“折线距离”. 注意，由O地出发走到第2行、第3列交叉路口的路线数目为10，走到这条直线上的路线共有种. 而由O地出发走到第2行、第3列交叉路口，或这条直线上的“折线距离”均为5.

    ⑶ 概率解释

    由O地出发，每走一个路口就休息一次，休息5次时，恰好走到第2行，第3列交叉路口的概率是多少呢？

    1956年，我国现代数学家华罗庚教授从概率论的角度对杨辉三角进行了解释. 在一块竖起的木板上粘帖上一此全等的正六边形木块，相邻的木块间留有一条等距的细缝，可以让上面落下的小球通过，最下面是一此长方形的盒子，如图5.

图5

    从顶上竖直细缝开始，小球可以左右等右能的落到下一层两个细缝之一. 由概率论知识可得，小球落入第二层两个竖直细缝的可能性（概率）为；小球落入第三层三个竖直细缝的可能性（概率）从左至右依次为；小球落入第四层四个竖直细缝的可能性（概率）从左至右依次为；归纳可知，小球落入第层个竖直细缝的可能性（概率）从左至右依次为，…，.

    所以休息5次时，恰好走到第2行，第3列交叉路口的概率是.

    上述实验国外数学家高尔顿也做了类似实验，称为高尔顿钉板.

    ⑷ 更上一层楼：

    上面我们领略了杨辉三角形的魅力，我们还有何感受呢？

    我们知道，线段是1维几何图形，有2个0维的端点，；三角形是2维的图形，有3个0维的端点，有3个1维的线段，1个2维的三角形区域；四面体（三棱锥）是3维的图形，有4个0维的端点，有6个1维的棱，4个2维的三角形区域，1个三维的的几何体. 如图：

    表中的数学恰好是杨辉三角的一部分. 下一行是什么呢？

    可以归纳得到是5，10，10，5，1.

    这些数字如何解释呢？

    类比地，我们可以得到4维空间中简单几何体的顶点、棱、面和体的相关分布：它有5个0维的端点，有10个1维的棱，10个2维的面，5个四面体为边界并含有1个4维几何体. 由杨辉三角，我们从现实空间进入了虚拟空间，甚至是n维空间，n维空间简单几何体的顶点、棱、面、…的分布为：，…，.

    4. 换一种方式行走：

    如果旅行者“向上行走”时，每走一个路口就要休息一次，而“向右行走”时可以走任意个路口休息一次，问由O地到对角线BC上的路线数目有多少？

    设表示由O地走到上的路线数目.

    由题意，旅行者要走到上，可以从向上行走；或者从O点，，，…，向右一次走到.

    所以…，

    ….

    所以两式相减，得.

    其特征方程为，特征根为.

    所以.

    因为，所以，

    所以.

    可以看到，是菲波那契数列的第项.

    所以.

    作者：董 武